2023年国家公务员行测备考：【数量】备考干货之容斥问题

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　　行测中的容斥问题一直以来都是学员的痛点，学员喜欢用公式去解这类题，然而对于复杂的容斥问题，只用公式是很难解题的。鉴于这种情况，笔者建议广大学员灵活运用容斥原理，结合画图法能够轻松解决容斥问题。

　　那么什么是容斥原理呢?很简单，多个集合(一般是两个或者三个)在计数的时候，不考虑重复的情况，先将各个集合的所有对象的数量“包容”进来，然后再把重复计数的数量“排斥”出去。下面，笔者将通过画图法对两种题型进行详细的讲解。

　　题型一：两集合容斥问题

　　两集合容斥问题抽象出来就是“符合A类，符合B类，A、B都符合”结合画图法表示如下：

　　其中：A类的数量=图形1的面积+图形2的面积(简写成A=1+2)

　　B类的数量=图形2的面积+图形3的面积(简写成B=2+3)

　　图形1的面积=只符合A类的数量(符合A不符合B的数量)

　　图形2的面积=既符合A类又符合B类的数量(简称都符合)

　　图形3的面积=只符合B类的数量(符合B不符合A的数量)

　　图形4的面积=既不符合A类又不符合B类的数量(简称都不，有些题目中没有都不一项)

　　总体的数量=A+B-2+4

　　例1：某单位有60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?

　　A. 12

　　B. 14

　　C. 15

　　D. 29

　　【答案】C

　　【解析】：第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类

　　第二步，将穿黑裤子看成符合A类，将穿黑上衣看成符合B类，那么穿白上衣蓝裤子就是都不符合，而问题问的是都符合，设数量为x，运用画图法如下图所示即60=34+29-x+12，解得x=15。

　　因此，选择C选项。

　　例2：某公司100名员工对甲、乙两名经理进行满意度评议，对甲满意度的人数占全体参加评议的3/5，对乙满意的人数比甲的人数多6人，对甲乙都不满意的占对甲乙都满意人数的1/3多2人，则对甲乙都满意的人数是多少?

　　A. 36人

　　B. 26人

　　C. 48人

　　D. 42人

　　【答案】D

　　【解析】：第一步，本题考查容斥问题，属于二集合容斥类。

　　第二步，将对甲满意看成符合A类，将对乙满意看成符合B类，而问题问的是都符合设其数量为x，对甲乙都不满意的数量为x/3+2。

　　第三部，运用画图法如下图所示，即100=60+66-x+ x/3+2，解得x=42。

　　因此，选择D选项。

　　题型二：三集合容斥问题

　　三集合容斥问题抽象出来就是“符合A类，符合B类，符合C类，都符合”结合画图法表示如下：

　　其中A类的数量=图形1 +图形4 +图形5积+图形6的总面积(简写成A=1+4+5+6)

　　B=2+4+5+7，C=3+4+6+7

　　图形1的面积=只符合A类的数量

　　图形2的面积=只符合B类的数量

　　图形3的面积=只符合C类的数量

　　图形4的面积=三类都符合的数量

　　图形8的面积=三类都不符合的数量(有些题目中没有都不一项)

　　考点1：4+5=既符合A又符合B的数量

　　4+6=既符合A又符合C的数量

　　4+7=既符合B又符合C的数量

　　考点2：5+6+7=符合两种类型的数量(即只符合两种类型的总数量)

　　总体的数量=A+B+C-(4+5)-(4+6)-(4+7)+4+8(考点1)

　　总体的数量=A+B+C-(5+6+7)-图形4面积的两倍+8(考点2)

　　例3：对39种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17种，含乙的有18种，含丙的有15种，含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种，三种维生素都不含的有7种，则三种维生素都含的有多少种?

　　A. 4

　　B. 6

　　C. 7

　　D. 9

　　【答案】A

　　【解析】：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。

　　第二步，这道题属于三集合容斥问题考点1，把含有甲维生素看成符合A类，含有乙维生素看成符合B类，含有丙维生素看成符合C类，而问题问的是三类都符合的数量设为x。

　　第三步，运用画图法如下图所示，即39=17+18+15-7-6-9+x+7，解得x=4。

　　因此，选择A选项。

　　小结：此题属于考点1，画图标数的时候要注意符合A与B类，符合A与C类，符合B与C类区域，在图中分别用箭头把三个区域的不同数量标示出来，比如此题中的“含甲、乙的有7种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9种”。

　　例4：某乡镇举行运动会，共有长跑、跳远和短跑三个项目。参加长跑的有49人，参加跳远的有36人，参加短跑的有28人，只参加其中两个项目的有13人，参加全部项目的有9人。那么参加该次运动会的总人数为多少?

　　A. 75

　　B. 82

　　C. 88

　　D. 95

　　【答案】B

　　【解析】：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。

　　第二步，这道题属于三集合容斥问题考点2，把长跑看成符合A类，跳远看成符合B类，短跑看成符合C类，而问题问的是总体的数量设为x。

　　第三步，运用画图法如下图所示即x=49+36+28-13-2×9，解得x=82。

　　因此，选择B选项。

　　小结：此题属于考点2，画图标数的时候要注意只符合两种类型的区域，在图中总共有3个小区域，在这里可以标上符合△，表示△区域总面积为只符合两种类型的总数量，比如此题中的“只参加其中两个项目的有13人”。同时，这道题并没有给出都不符合的条件，故不需要画出最外边的方框。

　　例5：对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?

　　A. 22

　　B. 28

　　C. 30

　　D. 36

　　【答案】A

　　【解析】：第一步，本题考查容斥问题，属于三集合容斥类。

　　第二步，这道题属于三集合容斥问题的考点1，但是在此基础上加大了一点儿难度。把看球赛看成符合A，看戏剧看成符合B，看电影看成符合C，题目中没有给出都不喜欢这个条件，所以本题画图时不用画方框，并且缺少既符合B又符合C这个条件，所以常规解法受阻。

　　第三步，由于问题求的是只喜欢看电影的人数，即是求下图a中阴影部分面积，设其为x，运用画图法如下图b所示。图a中除开阴影部分，剩下部分面积即为求两集合容斥问题的数量，那么总面积=阴影部分面积+剩下部分面积。即100=x+(58+38-18)，解得x=22。

　　因此，选择A选项。

　　总结：这五道题充分利用了画图法的特性—直观性，使得解题过程极其简单，而且容易想到。所以笔者建议学员用画图法去解充斥问题，就再也不用纠结公式中字母的数学含义，能在做题的过程当中达到事半功倍的效果。

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（编辑：zhangyuting）