2020国家公务员行测排列组合题插板法的应用
这篇文章主要来讲排列组合的解题法宝之一的插板法,下边我们一起来看一下什么是插板法。基本题型基本题型为:n个相同元素,不同个m组,每组至少有一个元素;则只需在n个元素的n-1个间隙中放置m-1块隔板把它隔成m份,求共有多少种不同方法?其解题思路为:将n个相同的元素排成一行,n个元素之间出现了(n-1)个空档,现在我们用(m-1)个“档板”插入(n-1)个空档中,就把n个元素隔成有序的m份,每个组依次按组序号分到对应位置的几个元素(可能是1个、2个、3个、4个、….),这样不同的插入办法就对应着n个相同的元素分到m组的一种分法,这种借助于这样的虚拟“档板”分配元素的方法称之为插板法。例题:共有10完全相同的球分到7个班里,每个班至少要分到一个球,问有几种不同分法?解析:我们可以将10个相同的球排成一行,10个球之间出现了9个空隙,现在我们用6个档板”插入这9个空隙中,就“把10个球隔成有序的7份,每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球(可能是1个、2个、3个、4个),这样,借助于虚拟“档板”就可以把10个球分到了7个班中。基本题型的变形(1)变形1:有n个相同的元素,要求分到m组中,问有多少种不同的分法?解题思路:这种问题是允许有些组中分到的元素为“0”,也就是组中可以为空的。对于这样的题,我们就首先将每组都填上1个,这样所要元素总数就m个,问题也就是转变成将(n+m)个元素分到m组,并且每组至少分到一个的问题,也就可以用插板法来解决。例题:有8个相同的球放到三个不同的盒子里,共有()种不同方法。解答:题目允许盒子有空,则需要每个组添加1个,则球的总数为8+3×1=11,此题就有C(10,2)=45(种)分法了。(2)变形2:有n个相同的元素,要求分到m组,要求各组中分到的元素至少某个确定值S(s>1,且每组的s值可以不同),问有多少种不同的分法?解题思路:这种问题是要求组中分到的元素不能少某个确定值s,各组分到的不是至少为一个了。对于这样的题,我们就首先将各组都填满,即各组就填上对应的确定值s那么多个,这样就满足了题目中要求的最起码的条件,之后我们再分剩下的球。这样这个问题就转变为上面提到的变形1的问题了,也就可以用插板法来解决。例题:15个相同的球放入编号为1、2、3的盒子内,盒内球数不少于编号数,有几种不同的放法?解析:编号1:至少1个,符合要求;编号2:至少2个:需预先添加1个球,则总数-1;编号3:至少3个,需预先添加2个,才能满足条件,后面添加一个,则总数-2;则球总数15-1-2=12个放进3个盒子里,所以C(11,2)=55(种)。通过上面的例题,我们可以看到在排列组合题其实是有方法及步骤可循的,只要大家能够牢记做题步骤即可快速作出答案。望大家能够熟练掌握,在考场做到快速解题。