2021天津教师资格证：求极限的常用方法（一）

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　　资格证笔试中求极限的常用方法(一)

　　华图教师通过分析历年教师资格证考试的笔试真题，发现高等数学中的求极限出现的频率极高，多出现在选择题中。虽然考察的难度不大，但是由于对高等数学知识的掌握不够牢固，当考生遇到求极限的问题往往比较困惑，没有清晰的解题思路。

　　极限是高等数学中最重要、最基本的内容之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的，因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至无从下手，通过归纳总结，华图教师团队罗列出了一些常用的求法。本文主要对数学分析中求极限的方法进行一定的总结。

　　1、利用极限的四则运算性质求极限

　　极限的四则运算性质：(1)两收敛数列的和、积、差也收敛，且和、积、差的极限等于极限的和、积、差。(2)两收敛数列，若作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算，首先对函数施行各种恒等变形。例如分子、分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式;通分化简;化无穷多项的和(或积)为有限项等。

　　定理 已知，都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在

　　(1)

　　(2)

　　(3)

　　(4)

　　(5)(n为自然数)

　　例题1：求,其中。

　　解析：分子分母均为无穷多项的和，应分别求和，再用四则运算法则求极限。

　　，

　　所以，原式=。

　　例题2：

　　解析：原式=。

　　2、直接用求导的定义求极限

　　设函数在点的某个领域内有定义，当自变量在处取得增量(点仍在该领域内)时，相应的函数取得增量;如果与之比时的极限存在，则称函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处可导，并称这个极限为函数在点处的导数，记作，即;f(x)在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等。

　　在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示称f(x)在定点

　　的导数。

　　例题：若函数有连续二阶导数且，，，则。

　　解析：。

　　3、利用两个重要极限

　　，

　　这里不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。

　　，。

　　其中x都可以看作整体来看待。其中第一个重要极限是“0/0”型;第二个重要极限是“1∞”型，在1∞型中满足“外大内小，内外互倒”。在利用重要极限求函数极限时，关键在于把要求的函数极限化成重要极限标准型或者是它们的变形式。

　　例题1：求(1)，(2)

　　解析：(1)令，，则原式=。

　　(2)原式==。

　　例题2：求(1)，(2)

　　解析：(1)

　　(2)。

　　4、利用连续性求极限

　　一切初等函数在其定义区间内都是连续的,所以如果是初等函数,且是的定义区间内的点，则。

　　例题：设在处有连续的一阶导数，且，求。

　　解析：原式

　　。

　　5、利用两个准则求极限

　　(1)夹逼准则：已知为三个数列，且满足：若一正整数N,当n>N时，有，且，，则极限一定存在，且极限值也是a，即。

　　利用夹逼准则求极限关键在于从的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列，使得。

　　例题1：

　　解析：，

　　，

　　，

　　根据夹逼定理：。

　　例题2：求

　　解析：对任意正整数n,显然有,而,,

　　由夹逼性定理得。

　　(2)单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

　　利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。单调上升(或单调下降)有上界(或有下界)的数列必有极限。利用这一定理来求极限时,首先要研究数列的单调性和有界性,即证明的存在性，方法可用数学归纳法或不等式的放缩法;再令然后解关于A的方程,求得A的值,从而得出。

　　例题：证明下列数列的极限存在，并求极限。

　　，，，……，。

　　解析：从这个数列构造来看显然是单调增加的。用归纳法可证。

　　因为，，……，，所以，

　　两端同除，得，又因为，则，。

　　，即是有界的。根据定理知数列有极限，而且极限唯一。

　　令，则，即，因为，则解得。

　　所以，。

　　以上就是华图教师团队对教师资格证笔试中求极限常用方法的总结，广大考生在求极限时，首先观察数列或函数的形式。选择适当方法，只有方法得当，才能准确、快速、灵活的求解极限。以上方法希望能够对广大考生复习备考有所帮助。

　　最后，华图教师祝您乘华图翅膀，早日圆教师梦!

（编辑：hujiayi）