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2021天津教师资格证:求极限的常用方法(二)

2021-04-16 14:23:00 天津教师资格证考试网 //tj.huatu.com/jszg/ 文章来源:华图教育

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  资格证笔试中求极限的常用方法(二)

  华图教师通过分析历年教师资格证考试的笔试真题,发现高等数学中的求极限出现的频率极高,多出现在选择题中。虽然考察的难度不大,但是由于对高等数学知识的掌握不够牢固,当考生遇到求极限的问题往往比较困惑,没有清晰的解题思路。

  极限是高等数学中最重要、最基本的内容之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的,因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异,变化多端,有时甚至无从下手,通过归纳总结,华图教师团队罗列出了一些常用的求法。本文主要对数学分析中求极限的方法进行一定的总结。

  1、利用洛必达法则求极限

  洛必达法则:假设当自变量x趋近于某一定值(或无穷大)时,函数和满足:(1)和的极限都是0或都是无穷大;

  (2)和都可导,且的导数不为0;

  (3)存在(或是无穷大);

  则极限也一定存在,且等于,即=。

  利用这一法则的前提是:函数的导数要存在;为0/0型或者型等未定式类型。

  洛必达法则分为三种情况:0/0,型的直接用;0乘以无穷,无穷减去无穷(无穷大与无穷小成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式,通项之后,就能变成(1)中形式了;00,1∞,∞0,对于这类(指数,幂函数)形式的,主要是取对数的方法,把幂函数指数位置的函数移下来,就写成0与无穷的形式了。

  需注意的是,要看将代入式中时,原式是否为不定式,如果不是,就不能使用此法则;在重复使用此法则时,必须每步都作检查,一旦发现不是不定式就要停止使用。

  例题1:求

  解析:

  。

  例题2:求

  解析:原式,(连续两次使用洛必达法则)。

  例题3:(1)“”型:

  (2)“”型:

  (3)“”型:

  (4)“”型:求

  (5)“”型:求.

  解析:(1)原式.

  (2),

  故原式。

  (3)原式。

  (4)原式。

  (5)原式,

  而,因此:原式=1。

  2、用泰勒展式来求极限

  用此法必须熟记基本初等函数的展开式,它将原来函数求极限的问题转化为求多项式或有理分式的极限问题。对于和或差中的项不能用其等价无穷小代替的情形,有时可用项的泰勒展开式来代替该项,使运算十分简便。

  泰勒中值定理定理:如果函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数,则对任一,有

  +(-)+(-)+……+(-)+()

  其中,这里是与之间的某个值。

  例题1:利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式,求极限。

  解析:由于公式的分母,我们只需将分子中的代入计算,

  于是,对上式做运算时,把两个高阶的无穷小的代数和还是记作。

  例题2:求

  解析:泰勒展开式有

  ,所以

  则。

  3、利用定积分求极限

  定积分是一个有特殊结构和式子的极限,这样又可利用定积分的值求出某一和数的极限。若要利用定积分求极限,其关键在于将和数化成某一特殊结构的和式。凡每一项可提1/n,而余下的项可用通式写成n项之和的形式的表达式,一般可用定积分的定义去求。

  利用定积分可求如下二种形式的极限:

  一、设在[0,1]上可积,则有

  二、设在[0,1]上可积,则有

  例题1:求

  解析:=

  设,则在[0,1]内连续,所以

  则原式=。

  例题2:求

  解析:,令,则有:

  。

  4、利用无穷小求极限

  在某一过程中无穷大量的倒数是无穷小量;有界函数与无穷小量的乘积,仍是无穷小量。利用这两个定理可以求出某些函数的极限。

  当时,下列函数都是无穷小(即极限是0),且相互等价,即有:

  ~~~~~~。

  例题:求(1)(2)

  解析:(1)原式。

  (2)当时,,,而此时,,

  所以原式=。

  以上就是华图教师团队对教师资格证笔试中求极限常用方法的总结,广大考生在求极限时,首先观察数列或函数的形式。选择适当方法,只有方法得当,才能准确、快速、灵活的求解极限。以上方法希望能够对广大考生复习备考有所帮助。

  最后,华图教师祝您乘华图翅膀,早日圆教师梦!

(编辑:hujiayi)

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