2021天津教师资格证：排列组合常见题型及解题策略（三）

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　　排列组合常见题型及解题策略(三)

　　排列组合是考试的常考考点之一，掌握排列组合也是进行概率运算的基础。从历年考试真题来看，题型多是选择题或者是与求概率、求离散随机变量的期望相结合的解答题。关于排列组合的考题，看似较难，其实只要把握其题型分类和解题策略，就能迎刃而解。这里列举了十七类排列组合类型题，并给予解题技巧，供大家参考，希望能帮助大家在考试过程中短时高效完成关于排列组合的相关题目，赢得宝贵考试时间。

　　一、排数问题

　　排数问题是常考题型，这里我们要注意“0”的位置。

　　例：由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有( )。

　　【解析】由题意知本题是一个分类计数问题，因为由题意知个位数字小于十位数字，

　　所以个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有个、个、个、个、个，所以共有300个。

　　二、标号排位问题(不配对问题)

　　把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。

　　例：将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有( )。

　　【解析】根据题意，数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，共种填法，其中，四个数字全部相同的有1种，有1个数字相同的有4×2=8种情况，有2个数字相同的有C42×1=6种情况，有3个数字相同的情况不存在，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有24-1-8-6=9种。

　　三、涂色问题

　　涂色问题的常用方法有：

　　(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论;

　　(2)根据相对区域是否同色分类讨论;

　　(3)将空间问题平面化，转化成平面区域涂色问题。

　　例：将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是_______。

　　【解析】首先给顶点P选色，有5种结果，再给A选色有4种结果，再给B选色有3种结果，最后分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，根据分步计数原理和分类计数原理得到结果。设四棱锥为。

　　下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，

　　(1)、P：，A：，B：，C与B同色：1，D：

　　(2)、P：，A：，B：，C与B不同色：，D：。

　　综上，共有420种染色方法

　　四、走楼梯问题

　　对于走楼梯问题，采用分类法与插空法相结合的方式进行解题。

　　例：一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以上一级或二级台阶，最多可以上三级台阶，从地面到最高一级，一共有( )种不同的上法。

　　【解析】如果用n表示台阶的级数，表示某人走到第n级台阶时，所有可能不同的走法，容易得到：

　　①当n=1时，显然只要1种跨法，即。

　　②当n=2时，可以一步一级跨，也可以一步跨二级上楼，因此，共有2种不同的跨法，即。

　　③当n=3时，可以一步一级跨，也可以一步三级跨，还可以第一步跨一级，第二步跨二级或第一步跨二级，第二步跨一级上楼，因此，共有4种不同的跨法，即。

　　④当n=4时，分三种情况分别讨论：

　　如果第一步跨一级台阶，那么还剩下三级台阶，由③可知有(种)跨法.

　　如果第一步跨二级台阶，那么还剩下二级台阶，由②可知有(种)跨法.

　　如果第一步跨三级台阶，那么还剩下一级台阶，由①可知有(种)跨法.

　　根据加法原理，有

　　类推，有……

　　五、几何中的排列组合问题

　　例：已知直线(是非零常数)与圆有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有( )条。

　　【解析】可知直线的横、纵截距都不为零，即与坐标轴不垂直，不过坐标原点，而圆上的整数点共有12个，分别为(6，±8)，(-6，±8)，(8，±6)，(-8，±6)，(±10，0)，(0，±10)，前8个点中，过任意一点的圆的切线满足，有8条;12个点中过任意两点，构成条直线，其中有4条直线垂直x轴，有4条直线垂直y轴，还有6条过原点(圆上点的对称性)，故满足题设的直线有52条.综上可知满足题设的直线共有52+8=60条。

　　六、复杂问题用排除法

　　对于某些比较复杂的或抽象的排列问题，可以采用转化思想，从问题的反面去考虑，先求出无限制条件的方法种数，然后去掉不符合条件的方法种数。在应用此法时要注意做到不重不漏。

　　例：四面体的顶点和各棱中点共有10个点，取其中4个不共面的点，则不同的取法共有( )。

　　【解析】从10个点中任取4个点有种取法，其中4点共面的情况有三类。第一类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有种;第二类，取任一条棱上的3个点及该棱对棱的中点，这4点共面，有6种;第三类，由中位线构成的平行四边形(其两组对边分别平行于四面体相对的两条棱)，它的4个点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同的取法共有：(种)。

　　七、排列、组合综合问题用先选后排的策略

　　处理排列、组合综合性问题一般是先选元素，后排列。

　　例：将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种?

　　【解析】可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组

　　(1，1，2)，(2，1，1)，(1，2，1)，共有：(种)，第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：(种)。因此共有36种方案。

（编辑：hujiayi）