2023年天津社区工作者笔试备考：数量关系-巧解不定方程

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　　百鸡问题说：“鸡翁一，直钱五，鸡母一，直钱三，鸡雏三，直钱一。百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何?”。设x,y,z分别表示鸡翁、母、雏的个数，则此问题即为求不定方程组的非负整数解x,y,z，这是一个不定方程组的问题。

　　在数量关系中，有些考生在解不定方程时往往不知如何下手，其实不定方程的相关知识和方法并不复杂，今天我们就一起来梳理一下。

　　不定方程是指形如“ax+by=c”的方程，其中a,b为系数，像这种未知数个数多于方程个数的方程叫做不定方程。如3x+4y=16就是不定方程，这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数组，但如果附加一些限制条件的话，就会使得这个方程仅有唯一解是满足条件的，如3x+4y=16的解有&x=1&y=3.25,&x=2&y=2.5,…。如果限定x,y为不超过5的正整数，那么解就只有&x=4&y=1这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。此类方程的解法可从系数a,b的奇偶性入手，具体而言可分为两种情况：

　　①若a,b一奇一偶，则可以考虑奇偶性，根据“奇反偶同”判断x或y的奇偶性解不定方程;

　　②若a,b同为奇数，则可以考虑公因子法、带入排除法或特殊数字如5、10的倍数利用尾数法解不定方程。

　　下面我们就以几道例题来进行详细讲解：

　　【例1】某班有56名学生，每人都参加了a、b、c、d、e五个兴趣班中的其中一个。已知有27人参加a兴趣班，参加b兴趣班的人数第二多，参加c、d兴趣班的人数相同，e兴趣班的参加人数最小，只有6人，问参加b兴趣班的学生人数有多少个?( )

　　A.7个 B.8个

　　C.9个 D.10个

　　【答案】C

　　【解析】设五个兴趣班的人数分别数a、b、c、d、e人，则可以得到 b+2c=23。显然系数为1和2即一奇一偶，23为奇数，根据奇反偶同得知 b 是奇数，排除 B、D选项，代入 A 选项，得知b=7，c=8，7<8，不满足题意，故选C。

　　【例2】现有5盒动画卡片，各盒卡片张数分别为：7、9、11、14、17。 卡片按图案分为米老鼠、葫芦娃、喜羊羊、灰太狼4种，每个盒内装的是同图案的卡片。已知米老鼠图案的卡片只有一盒，而喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多1倍，那么图案为米老鼠的卡片的张数为( )

　　A. 7 B. 9

　　C. 14 D. 17

　　【答案】A

　　【解析】5盒动画卡片共有7+9+11+14+17=58(张)，喜羊羊、灰太狼图案的卡片数之和比葫芦娃图案的多1倍，即是葫芦娃的2倍。那么喜羊羊+灰太狼+葫芦娃=3×葫芦娃，那么3×葫芦娃+米老鼠=58，显然系数3和1均为奇数，且无公因数，故采用带入排除的思想。代入A选项，得葫芦娃=17，米老鼠=7，代入B、C、D选项，葫芦娃的张数均得不到正整数解，故选A。

　　【例3】甲、乙两种笔的单价分别为7元、3元，某小学用60元钱买这两种笔作为学科竞赛一、二等奖奖品。钱恰好用完，则这两种笔最多可买的支数是( )

　　A.12 B.13

　　C.16 D.18

　　【答案】C

　　【解析】设购买甲、乙两种笔的数量分别为x,y，则7x+3y=60，在总费用一定的前提下，要使得购买数量尽可能多，即甲种笔要尽量的少，根据等式，显然系数为7和3均为奇数，“3y和60”均含有因子3，则x必然是3的倍数，则x=3，y=13，总支数是 16。故选 C。

　　【例4】超市将99个苹果装进两种包装盒，大包装盒每个装12个苹果，小包装盒每个装5个苹果，共用了十多个盒子刚好装完。问两种包装盒相差多少个?

　　A.3 B.4

　　C.7 D.13

　　【答案】D

　　【解析】设大、小盒子各有x、y个，由大盒每个装12个，小盒每个装5个，恰好装99个，得到12x+5y=99。根据奇偶特性，其中12x是偶数、99为奇数，故5y为奇数;显然5y为5的倍数，且尾数为5，则12x的尾数为4，可得x=2或x=7，当x=2时，y=15，符合共有十多个盒子，此时15-2=13;当x=7时，y=3，不符合共十多个盒子(刚好十个)。故两种包装盒相差 13个，选择 D选项。

　　以上就是关于不定方程的求解问题，小伙伴们是不是发现并没有如大家想象的那么复杂呢，其实对于不定方程来说，知识点还是很容易理解的，只要大家勤学多练，对于所讲的求解方法灵活运用，熟能生巧，一定会掌握的游刃有余。

（编辑：zhangyuting）